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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    将数列{an}中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知：
    ①在数列{bn}中，b1=1，对于任何n∈N*，都有（n+1）bn+1-nbn=0；
    ②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列；
    a1   a2   a3
    a4   a5   a6   a7
    a8   a9   a10  a11  a12
    …

    ③a66=
    2
    5
    ．请解答以下问题：
    （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
    （Ⅱ）求上表中第k（k∈N*）行所有项的和S（k）；
    （Ⅲ）若关于x的不等式S(k)+
    1
    k
    ＞
    1-x2
    x
    在x∈[
    1
    200
     ， 
    1
    20
    ]    上有解，求正整数k的取值范围．
    分析：（Ⅰ）将nbn看作整体，由（n+1）bn+1=nbn=0可得数列{nbn}是常数列，项值为1×b1=1，∴nbn=1，∴bn=
    1
    n

    （Ⅱ）由a66=
    2
    5
    ，a66在表中第十行第三列，即其在以b10为首项的，公比为q的数列的第三项．按照等比数列通项公式列出方程 再解出q，便可求各行数据之和．
    （Ⅲ）依题意，正整数k的取值使S(k)+
    1
    k
    的最小值大于
    1-x2
    x
    ， x∈[
    1
    200
    ，
    1
    20
    ]    的最小值即可．
    解答：解：（Ⅰ）由（n+1）bn+1-nbn=0，得数列{nbn}为常数列．故nbn=1•b1=1，所以bn=
    1
    n
    ．　　　   
    （Ⅱ）∵3+4+…+11=63，
    ∴表中第一行至第九行共含有{an}的前63项，a66在表中第十行第三列．　　　     
    故a66=b10•q2，而b10=
    1
    10
    ，∴q=2． 　　　　　　　　　　　　　　　          　
    故S(k)=
    bk( 1-qk+2)
    1-q
    =
    1
    k
    ( 2k+2-1 )    ．　　　　　　　　　　　　　　　　　  　       
    （Ⅲ）f(x)=
    1-x2
    x
    =
    1
    x
    -x    在x∈[
    1
    200
     ， 
    1
    20
    ]    上单调递减，
    故f（x）的最小值是f(
    1
    20
    )=20-
    1
    20
    ．                                        
    若关于x的不等式S(k)+
    1
    k
    ＞
    1-x2
    x
    在x∈[
    1
    200
     ， 
    1
    20
    ]    上有解，
    设m(k)=S(k)+
    1
    k
    =
    1
    k
    •2k+2    ，则必须m(k)＞20-
    1
    20
    ．　　　　　　　　　　　　 
    ∵m(k+1)-m(k)=
    1
    k+1
    •2k+3-
    1
    k
    •2k+2=
    2k+2( k-1 )
    k ( k+1 )
    ≥0    （或
    m(k+1)
    m(k)
    =
    2k
    k+1
    ≥1    ）
    ∴m（1）=m（2）=8，函数m（k）当k≥2且k∈N*时单调递增．　　　　　　　　　　　　
    而m（4）=16，m(5)=
    128
    5
    ＞20-
    1
    20
    ，所以k的取值范围是大于4的一切正整数．
    点评：本题考查数列的概念，等比数列的通项公式、前n项和，函数的单调性及最值等知识，考查阅读，分析解决问题，计算等能力．
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    2bn
    bnSn-
    S
    2
    n
    =1(n≥2)    ．
    （1）求证数列{
    1
    Sn
    }    成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
    （2）上表中，若a81项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比q为正数，求当a81=-
    4
    91
    时，公比q的值．

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    （2）将数列{an}中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：
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    1
    Sn
    }是等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
    （2）图中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81=-
    4
    91
    时，求上表中第k（k≥3）行所有数的和．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表：
    记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…，构成的数列为{bn}，b1=a1=1，Sn为数列{bn}的前n项和，且满足数学公式．
    （1）求证数列数学公式成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
    （2）上表中，若a81项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比q为正数，求当数学公式时，公比q的值．

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    （3）令（b为大于等于3的正整数），问数列{cn}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

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