Question

【题目】已知函数， 为自然对数的底数.

（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）关于的不等式在恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）关于的方程有两个实根， ，求证： .

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）由，得，且又，即可求解切线方程；

（2）由题意知在上恒成立，利用导数求解函数的最小值，进而可求解实数的取值范围；

（3）由，则，令，

得，得恒成立，即，

不妨设，则，再根据（2）中的结论，即可作出证明.

试题解析：

（1）对函数求导得，

又 曲线在处的切线方程为，即；

（2）记 ，其中，

由题意知在上恒成立，下求函数的最小值，

对求导得，令，得，

当变化时， ， 变化情况列表如下：

		0
		极小值

， ，

记，则，令，得．

当变化时， ， 变化情况列表如下：

		1
		0
		极大值

，

故当且仅当时取等号，

又，从而得到；

（3）先证，

记 ，则，令，得，当变化时， ， 变化情况列表如下：

	-	0	+
		极小值

∴ ， 恒成立，

即，记直线， 分别与交于， ，

不妨设，则 ，

从而，当且仅当时取等号，

由（2）知， ，则 ，

从而，当且仅当时取等号，

故 ，

因等号成立的条件不能同时满足，故．