Question

（本题满分15分） 设点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为．动点满足（其中，不重合）．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为．若直线与（Ⅰ）中的曲线交于两点，求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）.（Ⅱ）

解：（Ⅰ）设点M(x,y),由，由于点P在上，则，
即M的轨迹方程为.                    ……4′
（Ⅱ）设点T(-2,t)，，则AT，BT的方程为：，，
又点T(-2,t) 在AT、BT上，则有：
①，②，由①、②知AB的方程为：. ……3′
设点，则圆心O到AB的距离，
；又由，得，于是
，，于是
于是，    ……3′
设，则，于是，设，于是，设，，令，得m=1/4.
得f(m)在(0,1/4】上单调递增，故.
即的范围为                                   ……5′
思路分析：第一问中利用向量的关系式消元法得到轨迹方程。设点M(x,y),由，由于点P在上，则，
第二问，设点T(-2,t)，，则AT，BT的方程为：，，
又点T(-2,t) 在AT、BT上，则有：
①，②，由①、②知AB的方程为：. ……3′
设点，则圆心O到AB的距离
；又由，得，于是
，，于是
构造函数求解得到。