Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，M、N分别是线段AD₁和BD上的中点
（1）证明：直线MN∥平面B₁D₁C；
（2）若AB=2，求三棱锥B₁-MBC的体积．

Answer 1

分析：（1）连接AC、D₁C，由MN是三角形ACD₁的中位线，可得MN∥D₁C，进而证明直线MN∥平面B₁D₁C．
（2）由等体积法可得，VB1-MBC=VM-B1BC=

1

3

S_△B1BCh=

1

2

BC•BB1•AB，把正方体的棱长代入运算．

解答：证明：（1）连接AC、D₁C．在△D₁CA中，MN是三角形ACD₁的中位线，∴MN∥D₁C．
又直线MN不在平面B₁D₁C内，D₁C?面B₁D₁C，∴直线MN∥平面B₁D₁C．
（2）VB1-MBC=VM-B1BC=

1

3

S_△B1BCh=

1

2

BC•BB1•AB=

4

3

．

点评：本题考查证明线面平行的方法，用等体积法求棱锥的体积，证明MN∥D₁C  是解题的关键．