Question

【题目】对于定义域分别是A，B的函数， ，规定：

现给定函数

(1) 若，写出函数的解析式；

(2) 当时，求问题(1)中函数的值域；

(3) 请设计一个函数，使得函数为偶函数且不是常数函数，并予以证明.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）；（3）， 为奇函数，函数为偶函数且不是常数函数，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）先求出的定义域，然后根据题意给出的解析式（2）根据（1）中的解析式，求复合函数的值域，先求复合部分的值域，然后再求值域（3）设计一个函数，根据题意给出证明过程

解析：(1)因为的定义域为R， 的定义域为 所以；

（2）时， ；

时， ，

令，

因为，所以，所以，所以，

综上所述，当时， ；

（3），此时为奇函数，函数为偶函数且不是常数函数.

证明如下： ，所以为奇函数；

又因为的定义域为R， 的定义域为R.

所以，

所以时，函数为偶函数且不是常数函数.