Question

已知椭圆的两个焦点F1(-

3

，0)，F2 (

3

，0)，且椭圆短轴的两个端点与F₂构成正三角形．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使

PE

•

QE

恒为定值，求m的值．

Answer 1

分析：（I） 由题意得到 c=

3

，tan30°=

3

3

=

b

c

，可得b、a值，即得椭圆的方程．
（Ⅱ）用点斜式设出直线l的方程，代入椭圆的方程化简，得到根与系数的关系，代入

PE

•

QE

 的解析式化简得   
 

(4m2-8m+1)k2+(m2-4)

1+4k2

恒为定值，故有 

4m2-8m+1

m2-4

= 4，从而解出m值．

解答：解：（I）由题意可得 c=

3

，tan30°=

3

3

=

b

c

，∴b=1，∴a=2，
故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

1

=1．
（Ⅱ） 设直线l的方程为 y-0=k（x-1），即 y=kx-k．
代入椭圆的方程化简可得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
∴x₁+x₂=

8k2

1+4k2

，x₁•x₂=

4k2- 4

1+4k2

．
∵

PE

•

QE

=（m-x₁，-y₁ ）•（m-x₂，-y₂）=（m-x₁）（m-x₂）+y₁y₂ 
=（m²+k²）+（1+k²）x₁•x₂-（m+k²）（x₁+x₂）
=（m²+k²）+（1+k²）

4k2- 4

1+4k2

-（m+k²）（

8k2

1+4k2

）
=

(4m2-8m+1)k2+(m2-4)

1+4k2

  恒为定值，
∴

4m2-8m+1

m2-4

= 4，
∴m=

17

8

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，一元二次方程根与系数的关系，由
 

(4m2-8m+1)k2+(m2-4)

1+4k2

恒为定值，得到

4m2-8m+1

m2-4

= 4，是解题的关键和难点．