Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，记A（n）=a₁+a₂+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+…+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+…+a_n+2，n=1，2，…．
（Ⅰ）若a₁=1，a₂=3，且对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，证明：数列{a_n}是公比为q的等比数列；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若公比q=2，a₁=2，令bn=

2n-1

an

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＜m（m∈Z），求m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得B（n）-A（n）=C（n）-B（n），代入可得a_n+1-a₁=a_n+2-a₂，结合等差数列的通项即可求a_n．
（Ⅱ）由A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，结合等比数列的通项公式及已知可证明

an+2

an+1

=

a2

a1

=q，即可证明
（Ⅲ）由（II）得bn=

2n-1

2n

，利用错位相减可求和，然后结合其单调性即可证明

解答：解：（Ⅰ）对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）是等差数列，
所以B（n）-A（n）=C（n）-B（n），即a_n+1-a₁=a_n+2，亦即a_n+2-a_n-1=a₂-a₁=2．
故数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
于是a_n=1+（n-1）×2=2n-1
证明：（Ⅱ）若对于任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，
则B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），
于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，得a_n+2-a₂=q（a_n+1-a₁），
即a_n+2-qa_n+1=a₂-a₁．由n=1有B（1）=qA（1），即a₂=qa₁，从而a_n+2-qa_n+1=0．
因为a_n＞0，所以

an+2

an+1

=

a2

a1

=q，故数列{a_n}是首项为a₁，公比为q的等比数列，
解：（Ⅲ）由（II）得bn=

2n-1

2n

，
∴Tn=

1

21

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

①

1

2

Tn= 

1

22

+

3

23

+…+

2n-5

2n-1

+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

②
①-②得

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n-1

+

2

2n

-

2n-1

2n+1

=

1

21

+(

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-2

+

1

2n-1

)-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

．
∴Tn=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

，
设f(n)=

2n+3

2n

，n∈N*，则由

f(n+1)

f(n)

=

2n+5 2n+1

2n+3 2n

=

2n+5

2(2n+3)

=

1

2

+

1

2n+3

≤

1

2

+

1

5

＜1
得f(n)=

2n+3

2n

，n∈N*随n的增大而减小
∴当n→+∞时，T_n→3，又T_n＜m（m∈Z）恒成立，
∴m_min=3

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的性质的应用，数列的递推公式的应用及数列的错位相减求和方法的应用和数列单调性在证明不等式中应用，试题具有一定的综合性