Question

如图，P是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁表面对角线A₁C₁上的一个动点，正方体的棱长为1．
（1）求PA与DB所成角；
（2）求DC到面PAB距离d的取值范围；
（3）若二面角P-AB-D的平面角为α，二面角P-BC-D的平面角为β，求α+β的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直可知线线垂直，从而可求PA与DB所成角；
（2）由于DC∥面PAB，所以DC到面PAB距离d即为D到面PAB距离，故可求 DC到面PAB距离d的取值范围；
（3）先作出二面角的平面角，再利用和角三角函数计算即可．

解答：解：（1）连接AC，BD，则BD⊥平面AC
∵PA?平面AC
∴PA⊥BD
∴PA与DB所成角为90°．
（2）由于DC∥面PAB
∴DC到面PAB距离d即为D到面PAB距离．
∵P是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁表面对角线A₁C₁上的一个动点
∴D到面PAB距离为 [

3

3

a，a]
（3）过P作PE⊥平面ABCD，过E分别作AB，BC的垂线，垂足分别为M，N，连PM，PN，则∠PME=α，∠PNE=β
设ME=x，NE=y，则tanα=

1

x

，tanβ=

1

y

∴tan(α+β)=

x+y

xy-1

当且仅当x=y=

1

2

时，tan(α+β)=-

4

3

此时α+β的最小值为arctan(-

4

3

)

点评：本题以正方体为载体，考查线线角，考查点、先面距离，考查面面角，有一定的综合性