Question

数轴上有一列点

P

1

，

P

2

，

P

3

，…，

P

n

，…，已知当n≥2时，点

P

n

是把线段

P

n-1

P

n+1

作n等分的分点中最靠近

P

n+1

的点，设线段

P

1

P

2

，

P

2

P

3

，…，

P

n

P

n+1

的长度分别为

a

1

，

a

2

，

a

3

，…，

a

n

，其中

a

1

=1．
（Ⅰ）写出

a

2

，

a

3

和

a

n

(n≥2，n∈N*)的表达式；
（Ⅱ）证明

a

1

+

a

2

+

a

3

+…+

a

n

＜3(n∈N*)；
（Ⅲ）设点

M

n

(n，

a

n

)(n＞2，n∈N*)，在这些点中是否存在两个点同时在函数y=

k

(x-1)2

(k＞0)的图象上，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意当n≥2时，P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n+1，结合已知可得a_n与a_n-1的递推公式，结合

a

1

=1，代入即可求解
（Ⅱ）由（I）可知，

1

(n-1)!

=

1

(n-1)•(n-2)•…3•2•1

≤

1

2•2…2

=

1

2n-2

，利用放缩法，结合等比数列的求和公式可证
（Ⅲ）先假设存在两个点A(p，

a

p

)，B(q，

a

q

)都在函数y=

k

(x-1)2

(k＞0)的图象上，把点的 坐标代入可得k=

a

p

(p-1)2=

a

q

(q-1)2，然后进行推理，即可判断

解答：解：（Ⅰ）依题意当n≥2时，有

P

n-1

P

n

=(n-1)

P

n

P

n+1

，即

a

n

=

a   n-1

n-1

，
∵

a

1

=1，
∴

a

2

=1，

a

3

=

a   1

2

=

1

2

，

a

n

=

1

n-1

a

n-1

=

1

n-1

•

1

n-2

a

n-2

=…=

1

(n-1)

•

1

(n-2)

…

1

2

-1=

1

(n-1)!

(n≥2)，
故

a

n

=

1

(n-1)!

(n≥2)．
（Ⅱ）证明：因为当n≥2时，

1

(n-1)!

=

1

(n-1)•(n-2)•…3•2•1

≤

1

2•2…2

=

1

2n-2

，
∴

a

1

+

a

2

+

a

3

+…+

a

n

=1+

1

1i

+

1

2!

+…+

1

(n-1)i

≤1+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

=1+

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=3-(

1

2

)n-2＜3
故

a

1

+

a

2

+…+

a

n

＜3(n≥2)，
而

a

1

=1＜3显然成立，
故

a

1

+

a

2

+

a

3

+…+

a

n

＜3(n∈N*)；
（Ⅲ）证明：假设存在两个点A(p，

a

p

)，B(q，

a

q

)（其中p≠q，p，q∈N^*，p＞2，q＞2）都在函数y=

k

(x-1)2

(k＞0)的图象上，
∴k=

a

p

(p-1)2=

a

q

(q-1)2，
即

(p-1)2

(p-1)!

=

(q-1)2

(q-1)!

，设

b

n

=

n2

n!

(n＞2)，

b

n

-

b

n-1

=

n2

n!

-

(n-1)2

(n-1)!

=

n-(n-1)2

(n-1)!

=-

n2-3n+1

(n-1)

＜0，
∴

b

2

＞

b

3

＞

b

4

＞…＞

b

n

＞…，
∴

(p-1)2

(p-1)!

=

(q-1)2

(q-1)!

不成立，故不存在满足题设条件的两个点．

点评：本题综合考查了数列的递推公式的应用，不等式的放缩法在证明不等式中的应用，等比数列 的求和公式的应用及存在性问题的求解