Question

定理：若函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且在（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立．应用上述定理证明：
（1）1-

x

y

＜lny-lnx＜

y

x

-1(0＜x＜y)；     
（2）设bn=

1

n

，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₁₁-1＜ln2011＜T₂₀₁₀
（3）设f（x）=xⁿ（n∈N^*）．若对任意的实数x，y，f(x)-f(y)=f′(

x+y

2

)(x-y)恒成立，求n所有可能的值．

Answer 1

分析：（1）令f（x）=lnx，则lny-lnx=

y-x

ξ

，又

y-x

y

＜

y-x

ξ

＜

y-x

x

，即可证得不等式；
（2）在

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

中令n=1，2，3，…，2007，并将各式相加，即可得到结论；
（3）当n=1和2时，f(x)-f(y)=f′(

x+y

2

)(x-y)成立，当n≥3时，不妨设x=2，y=0，则已知条件化为：2^n-1=n，当n≥3时，2^n-1=（1+1）^n-1=C_n-1⁰+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1≥2+C_n-1¹=n+1＞n，因此n≥3时方程2^n-1=n无解，则 当n≥3时，等式f(x)-f(y)=f′(

x+y

2

)(x-y)不恒成立，从而求出n的可能值．

解答：证明：（1）令f（x）=lnx，f′(ξ)=

1

ξ

，x＜ξ＜y…（1分）
（注1：只要构造出函数f（x）=lnx即给1分）
故lny-lnx=

y-x

ξ

，又

y-x

y

＜

y-x

ξ

＜

y-x

x

…（*）…（2分）
即1-

x

y

＜lny-lnx＜

y

x

-1(0＜x＜y)…（3分）
（2）由条件可知bn=

1

n

则Tn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

在

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

中令n=1，2，3，…，2007，并将各式相加得

1

2

+

1

3

+…+

1

2011

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

2011

2010

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2010

即T₂₀₁₁-1＜ln2008＜T₂₀₁₀
（3）解：当n=1时，f(x)-f(y)=f′(

x+y

2

)(x-y)显然成立．…（9分）
当n=2时，f(x)-f(y)=x2-y2=2(

x+y

2

)(x-y)=f′(

x+y

2

)(x-y)．…（10分）
下证当n≥3时，等式f(x)-f(y)=f′(

x+y

2

)(x-y)不恒成立．
不妨设x=2，y=0，则已知条件化为：2^n-1=n…（11分）
当n≥3时，2^n-1=（1+1）^n-1=C_n-1⁰+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1≥2+C_n-1¹=n+1＞n…（13分）
因此n≥3时方程2^n-1=n无解．故n的所有可能值为1和2

点评：本题主要主要考查了数列与函数的综合应用，同时考查了二项式定理和不等式的证明，属于中档题．