Question

设关于x的一元二次方程2x²-ax-2=0的两根为α，β（其中α＜β），函数f(x)=

4x-a

x2+1

．
（1）若a=1，求f（α）+f（β）的值；
（2）用单调性的定义证明f（x）在（α，β）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）关于x的一元二次方程2x²-ax-2=0的两根为α，β，a=1，可得α+β=

1

2

，αβ=-1，故可求f（α）+f（β）的值；
（2）利用单调性的定义，设α＜x₁＜x₂＜β，则f（x₁）-f（x₂）=

4+a(x1+x2)-4x1x2

(x21+1)(x22+1)

(x1-x2)，可确定f（x₁）＜f（x₂），从而f（x）在（α，β）上是增函数．

解答：（1）解：∵关于x的一元二次方程2x²-ax-2=0的两根为α，β，a=1，
∴α+β=

1

2

，αβ=-1．（2分）
∴f(α)+f(β)=

4α-1

α2+1

+

4β-1

β2+1

=

4(αβ+1)(α+β)-(α+β)2+2αβ-2

(α+β)2+(αβ)2-2αβ+1

=-1（6分）
（2）证明：设α＜x₁＜x₂＜β，则
f（x₁）-f（x₂）=

4+a(x1+x2)-4x1x2

(x21+1)(x22+1)

(x1-x2)，
∵4+a（x₁+x₂）-4x₁x₂=-4αβ+2（α+β）（x₁+x₂）-4x₁x₂=2[（x₁-β）（α-x₂）+（x₁-α）（β-x₂）]＞0
而x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在（α，β）上是增函数．（12分）

点评：本题以方程为载体，考查根与系数的关系，考查函数单调性的证明，掌握单调性的证题步骤是关键．