练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    直线l：y=kx+1与双曲线C：3x2-y2=1相交于不同的A，B两点．
    （1）求AB的长度；
    （2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出k的值，若不存在，写出理由．
    联立方程组
    y=kx+1
    3x2-y2=1
    ，消去y得（3-k2）x2-2kx-2=0，
    ∵直线与双曲线有两个交点，
    ∴
    3-k2≠0
    △=4k2+8(3-k2)＞0
    ，解得k2＜6且k2≠3，
    x1+x2=
    2k
    3-k2
    ，x1x2=
    -2
    3-k2
    ．
    （1）|AB|=
    		1+k2
    |x1-x2|=
    		1+k2
    		(x1+x2)2-4x1x2

    =
    		1+k2
    		(
    2k
    3-k2
    )2-4•
    -2
    3-k2

    =
    2
    		-k4+5k2+6
    |k2-3|
    （k2＜6且k2≠3）．
    （2）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点，
    则kOA•kOB=-1，即x1x2+y1y2=0，
    ∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，
    即（k+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，
    ∴(k+1)•
    -2
    3-k2
    +k•
    2k
    3-k2
    +1=0    ，
    整理得k2=1，符合条件，
    ∴k=±1．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    直线y=x+m与曲线y=
    		1-2x2
    有两个交点，则实数m的取值范围是______．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，以
    		3
    2
    为离心率的椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A和B，点P是椭圆位于x轴上方的一点，且△PAB的面积最大值为2．
    （Ⅰ）求椭圆方程；
    （Ⅱ）设点Q是椭圆位于x轴下方的一点，直线AP、BQ的斜率分别为k1，k2，若k1=7k2，设△BPQ与△APQ的面积分别为S1，S2，求S1-S2的最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知椭圆C：x2+
    y2
    a2
    =1(a＞1)    的离心率为e，点F为其下焦点，点O为坐标原点，过F的直线l：y=mx-c（其中c=
    		a2-1
    ）与椭圆C相交于P，Q两点，且满足：
    OP
    •
    OQ
    =
    a2(c2-m2)-1
    2-c2
    ．
    （Ⅰ）试用a表示m2；
    （Ⅱ）求e的最大值；
    （Ⅲ）若e∈(
    1
    3
    ，
    1
    2
    )    ，求m的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    		2
    2
    ，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过点F2与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点，则△ABF1的周长为4
    		2
    ．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）若C（
    1
    3
    ，0），使得|AC|=|BC|，求直线l的方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F1、F2，过F1作直线交椭圆于P、Q两点，△F2PQ的周长为4
    		3
    ．
    （1）若椭圆的离心率e=
    		3
    3
    ，求椭圆的方程；
    （2）若M为椭圆上一点，
    MF1
    •
    MF2
    =1，求△MF1F2的面积最大时的椭圆方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C的焦点在x轴上，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点．若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=
    2
    3
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）求点R（0，1）与椭圆C上的点N之间的最大距离；
    （Ⅲ）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P（-3，0），交y轴于点M．若
    MQ
    =2
    QP
    ，求直线l的斜率．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）
    （Ⅰ）求抛物线C的方程；
    （Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x-2于M、N两点，求|MN|的最小值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=
    		5
    5
    ，过F1的直线交椭圆于M、N两点，且△MNF2周长为4
    		5
    ．
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）已知过椭圆中心，且斜率为k（k≠0）的直线与椭圆交于A、B两点，P是线段AB的垂直平分线与椭圆E的一个交点，若△APB的面积为
    40
    9
    ，求k的值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案