Question

（本题满分12分）
甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，
答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分.
（1）求的概率及的数学期望；
（2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求.

Answer 1

（1）E=2；（2）P(AB) =

本题考查相互独立重复事件的概率计算，离散变量的分步列、期望的计算，解题时要明确事件之间的关系并准确计算．
（Ⅰ）因为假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，结合独立事件概率的乘法公式得到结论。
（Ⅱ）由题意，ξ可取的值为0、1、2、3，由n次独立重复实验中恰有k次发生的概率公式计算P（ξ=0）、P（ξ=1）、P（ξ=3）、P（ξ=4），进而可得ξ的分步列，进而由期望公式，计算可得答案．
解 （1）方法一 由题意知，的可能取值为0，1，2，3，且
P（=0）=,P(=1)=,
P(=2)=,P(=3)=.
所以的分布列为

	0	1	2	3
P

的数学期望为E=0×+1×+2×+3×=2.
方法二 根据题设可知, _~B,
故P(=1)=
因为_~B,所以E=3×=2.--------------------6分
(2)方法一 用C表示“甲队得2分乙队得1分”这一事件，用D表示“甲队得3分乙队得0分”这一事件，所以AB=C∪D，且C、D互斥，
P（C）=    P（D）=
由互斥事件的概率公式得P(AB)=P(C)+P(D)=.
方法二 用A_k表示“甲队得k分”这一事件，用B_k表示“乙队得k分”这一事件，k=0，1，2，3.由于事件A₃B₀，A₂B₁为互斥事件，故有P（AB）=P（A₃B₀∪A₂B₁）=P（A₃B₀）+P（A₂B₁）.由题设可知，事件A₃与B₀独立，事件A₂与B₁独立，因此
P（AB）=P（A₃B₀）+P（A₂B₁）=P（A₃）P（B₀）+P（A₂）P（B₁）
=---------------------12分