Question

A、选修4-1：几何证明选讲 
如图，PA与⊙O相切于点A，D为PA的中点，
过点D引割线交⊙O于B，C两点，求证：∠DPB=∠DCP．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=

12 2x

的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=t y=1+2t

（t为参数），判断直线l和圆C的位置关系．
D．选修4-5：不等式选讲
求函数y=

1-x

+

4+2x

的最大值．

Answer 1

分析：A 由切割线定理得到 DP²=DA²=DB•DC，即

PD

DC

=

DB

PD

．  因为∠BDP=∠PDC，可得△BDP∽△PDC，从而，∠DPB=∠DCP．
B 写出矩阵M的特征多项式 f（λ），由λ₁=3方程f（λ）=0的一根，令x=1 得特征值 λ₂=-1，求出它对应的特征向量．
C把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离小于半径，故直线l和⊙C相交．
D y=

1-x

+

4+2x

=（

1-x

，

2+x

）•（1，

2

），由|

a

•

b

|≤|

a

| • |

b

| 求得函数的最大值．

解答：解：A．因为PA与圆相切于A，所以，DA²=DB•DC，因为D为PA中点，所以，DP=DA，
所以，DP²=DB•DC，即

PD

DC

=

DB

PD

．  因为∠BDP=∠PDC，所以，△BDP∽△PDC，
所以，∠DPB=∠DCP．
B．矩阵M的特征多项式为f(λ)=

.

λ-1 ，-2 -2 ，λ-x

.

=（λ-1）（λ-x）-4
因为λ₁=3方程f（λ）=0的一根，所以x=1，
由（λ-1）（λ-1）-4=0得λ₂=-1，
设λ₂=-1对应的一个特征向量为α=

x y

，
则

-2x-2y=0 -2x-2y=0

得 x=-y，令x=1，则y=-1，
所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为α=

1 -1

C．消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y=2x+1；ρ=2

2

(sinθ+

π

4

)即ρ=2（sinθ+cosθ），
两边同乘以ρ得ρ²=2（ρsinθ+ρcosθ），得⊙C的直角坐标方程为：（x-1）²+（x-1）²=2，
圆心C到直线l的距离d=

|2-1+1|

22+12

=

2 5

5

＜

2

，所以，直线l和⊙C相交．
D．因为y=

1-x

+

4+2x

=（

1-x

，

2+x

）•（1，

2

），由|

a

•

b

|≤|

a

| • |

b

| 求得
∴y的最大值为3，
当且仅当两个向量共线时，即

1

1-x

=

2

2+x

时取“=”号，即当x=0时，y_max=3．

点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系的判定，矩阵的特征值与特征向量的定义．体现了数形结合及转化的数学思想．