Question

【题目】如图，P是抛物线E：y2＝4x上的动点，F是抛物线E的焦点．

（1）求|PF|的最小值；

（2）点B，C在y轴上，直线PB，PC与圆（x﹣1）2+y2＝1相切．当|PF|∈[4，6]时，求|BC|的最小值．

Answer 1

【答案】（1）|PF|的最小值为1（2）

【解析】

（1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义和性质，即可求得|PF|的最小值；

（2）设，分别求得的方程，运用直线和圆相切，得到为方程的两根，再由韦达定理可得，进而可求得其最小值．

（1）P是抛物线E：y2＝4x上的动点，F是抛物线E的焦点（1，0），准线方程为x＝﹣1，

由抛物线的定义可得|PF|＝d＝xP+1，

由，可得d的最小值为1，|PF|的最小值为1；

（2）设，

则PB的方程为yx+m，PC的方程为yx+n，

由直线PA与圆（x﹣1）2+y2＝1相切，可得1，

整理得（x0﹣2）m2+2y0m﹣x0＝0，

同理可得（x0﹣2）n2+2y0n﹣x0＝0，

即有m，n为方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0＝0的两根，可得m+n，mn，

则|m﹣n|，

由|PF|∈[4，6]，可得x0+1∈[4，6]，即x0∈[3，5]，

令t＝|2﹣x0|＝x0﹣2，t∈[1，3]，

即有|m﹣n|2在[1，3]递减，

可得t＝3即x0＝5时，|BC|＝|m﹣n|取得最小值．