【题目】已知椭圆,倾斜角为60°的直线与椭圆分别交于A、B两点且,点C是椭圆上不同于A、B一点,则△ABC面积的最大值为_____.
【答案】
【解析】
设直线AB的方程为,联立方程组,利用根与系数的关系及弦长公式,得到
,解得的值,设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为,联立方程组,利用,求得的值,再由点到直线的距离公式和三角形的面积公式,即可求解.
由题意,设直线AB的方程为,点 A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程组,整理得18x2+10mx+5m2﹣30=0,
所以x1+x2,x1x2.
因为,即,
代入整理得,解得,
不妨取:m=2,可得直线AB的方程为,
设与直线AB平行且与椭圆相切的直线方程为yx+t,
联立方程组,整理得18x2+10tx+5t2﹣30=0,
由△=300t2﹣72×(5t2﹣30)=0,解得:t=±6.
取t=﹣6时,与直线AB平行且与椭圆相切的直线与直线AB的距离,
所以△ABC面积的最大值,
故答案为:.
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【题目】已知,是椭圆:上的两点,线段的中点在直线上.
(1)当直线的斜率存在时,求实数的取值范围;
(2)设是椭圆的左焦点,若椭圆上存在一点,使,求的值.
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【题目】如图,两座建筑物,的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是和,从建筑物的顶部看建筑物的视角.
(1)求的长度;
(2)在线段上取一点(点与点,不重合),从点看这两座建筑物的视角分别为,,问点在何处时,最小?
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点,若直线与曲线交于,两点,求的值.
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【题目】如图,P是抛物线E:y2=4x上的动点,F是抛物线E的焦点.
(1)求|PF|的最小值;
(2)点B,C在y轴上,直线PB,PC与圆(x﹣1)2+y2=1相切.当|PF|∈[4,6]时,求|BC|的最小值.
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【题目】如图,已知是圆的直径,,在圆上且分别在的两侧,其中,.现将其沿折起使得二面角为直二面角,则下列说法不正确的是( )
A.,,,在同一个球面上
B.当时,三棱锥的体积为
C.与是异面直线且不垂直
D.存在一个位置,使得平面平面
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【题目】某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏,每次由一个小孩与其一位家长参与,测试家长对小孩饮食习惯的了解程度.在每一轮游戏中,主持人给出A,B,C,D四种食物,要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序,然后由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD,家长猜测的序号依次为yAyByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义随机变量X=(xA﹣yA)2+(xB﹣yB)2+(xC﹣yC)2+(xD﹣yD)2,用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.
(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.
(ⅰ)求他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率;
(ⅱ)求X的分布列(简要说明方法,不用写出详细计算过程);
(2)若有一组小孩和家长进行来三轮游戏,三轮的结果都满足X<4,请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解,说明理由.
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