Question

已知点A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2），点P在圆x²+y²=4上运动，则|PA|²+|PB|²+|PC|²的最大值与最小值之和为

160

．

Answer 1

分析：由点A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2），设P（a，b），则|PA|²+|PB|²+|PC|²=3a²+3b²-4b+68，由点P在圆x²+y²=4上运动，知-2≤b≤2．把a²=4-b²代入3a²+3b²-4b+68=-4b+80，由此能求出|PA|²+|PB|²+|PC|²的最大值与最小值之和．

解答：解：∵点A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2），
∴设P（a，b），
则|PA|²+|PB|²+|PC|²
=（a+2）²+（b+2）²+（a+2）²+（b-6）²+（a-4）²+（b+2）²
=3a²+3b²-4b+68，
∵点P在圆x²+y²=4上运动，
∴a²+b²=4，
a²=4-b²≥0，
所以b²≤4，
∴-2≤b≤2．
把a²=4-b²代入3a²+3b²-4b+68
=12-3b²+3b²-4b+68
=-4b+80，
∵-2≤b≤2，
所以-8≤-4b≤8
80-8≤80-4b≤80+8，
72≤-4b+80≤88
∴最大值是88，最小值是72，
∴|PA|²+|PB|²+|PC|²的最大值与最小值之和88+72=160．
故答案为：160．

点评：本题考查直线的一般式方程与两点间距离公式的应用，具体涉及到直线方程秘圆的简单性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．