Question

(1)求证：函数y=f(x)的图象关于点（0.5，－0.5）对称； 

(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值;

Answer 1

（1）见解析（2）-3（3）见解析

解析:

(1)设P(x,y)是y=f(x)的图象上任意一点，

关于(0.5，－0.5)对称点的坐标为:(1-x,-1-y)

∴－1-ｙ＝f（1－ｘ），即函数ｙ＝f（ｘ）的图象关于点（0.5，－0.5）对称.

(2)由(Ⅰ)有f(1-x)=-1-f(x)即f(x)+f(1-x)= -1

∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)= -1

则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3  

下面用数学归纳法证明

当n=1时，左＝3，右＝1，3＞1不等式成立

当n=2时，左＝9，右＝4，9＞4不等式成立

令n=k(k≥2）不等式成立即3ｋ＞ｋ2

则ｎ＝ｋ＋1时，左＝3ｋ＋1＝3·3ｋ＞3·ｋ2

右＝（ｋ＋1）2＝ｋ2＋2ｋ＋1

∵3ｋ2－（ｋ2＋2ｋ＋1）＝2ｋ2－2ｋ－1＝2（ｋ－0.5）2－1.5

当ｋ≥2，ｋ∈N时，上式恒为正值

则左＞右，即3ｋ＋1＞（ｋ＋1）2，所以对任何自然数n，总有3ｎ＞ｎ2成立，即对任何自然数n，总有bｎ＞ｎ2成立