Question

设S_n表示数列{a_n}的前n项和．
（1）若{a_n}为等差数列，推导S_n的计算公式；
（2）若a_n=2n-1，数列{b_n}满足

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，n∈N₊，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式和“倒序相加”即可得出；
（2）由已知

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，n∈N₊，当n=1时，

b1

a1

=

1

2

； 当n≥2时，

bn

an

=1-

1

2n

-(1-

1

2n-1

)=

1

2n

．可得bn=

2n-1

2n

，再利用“错位相减法”即可得出．

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，则S_n=a₁+a₂+…+a_n=a₁+（a₁+d）+…+[a₁+（n-1）d]，
又S_n=a_n+（a_n-d）+…+[a_n-（n-1）d]，
∴2S_n=n（a₁+a_n），
∴Sn=

n(a1+an)

2

． 
（2）由已知

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，n∈N₊，
当n=1时，

b1

a1

=

1

2

； 
当n≥2时，

bn

an

=1-

1

2n

-(1-

1

2n-1

)=

1

2n

．
∴

bn

an

=

1

2n

，n∈N₊． 
∵a_n=2n-1，n∈N₊，bn=

2n-1

2n

，n∈N₊．   
又Tn=

1

2

+

3

22

+

5

22

+…+

2n-1

2n

，

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
两式相减得

1

2

Tn=

1

2

+(

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

)-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

，
∴Tn=3-

2n+3

2n

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式的证明、“倒序相加”、等比数列的前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．