Question

已知二次函数，且不等式的解集为.
（1）方程有两个相等的实根，求的解析式；
（2）的最小值不大于，求实数的取值范围；
（3）如何取值时，函数存在零点，并求出零点.

Answer 1

（1）；（2）实数的取值范围是；（3）详见解析.

试题分析：（1）根据不等式的解集为得到、为方程的实根，结合韦达定理确定、、之间的等量关系以及这一条件，然后利用有两个相等的实根得到，从而求出、、的值，最终得到函数的解析式；（2）在的条件下，利用二次函数的最值公式求二次函数的最小值，然后利用已知条件列有关参数的不等式，进而求解实数；（3）先求出函数的解析式，对首项系数为零与不为零进行两种情况的分类讨论，在首项系数为零的前提下，直接将代入函数解析式，求处对应的零点；在首项系数不为零的前提下，求出，
对的符号进行三中情况讨论，从而确定函数的零点个数，并求出相应的零点.
试题解析：（1）由于不等式的解集为，
即不等式的解集为，
故、为方程的两根，且，
由韦达定理得，，
由于方程有两个相等的实根，即方程有两个相等的实根，
则，
由于，解得，，，
所以；
（2）由题意知，，，，由于，则有，
解得，由于，所以，即实数的取值范围是；
（3）（※）
①当时，方程为，方程有唯一实根，
即函数有唯一零点；
②当时，，
方程（※）有一解，令，
得或，，即或，
（i）当时，（（负根舍去）），
函数有唯一零点；
（ii）当时，的两根都是正数，
所以当或时，
函数有唯一零点；
（iii）当时，，，
③方程（※）有二解，
（i）若，，时，
（（负根舍去）），函数有两个零点，
；
（ii）当时，，的两根都是正数，
当或时，
（i）函数数有两个零点；
（ii）当时，，恒成立，
所以大于的任意实数，函数有两个零点
.