Question

已知抛物线关于x轴对称，它的顶点是坐标原点，点P（2，4），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线上的三点．
（Ⅰ）求该抛物线的方程；
（Ⅱ）若直线PA与PB的倾斜角互补，求线段AB中点的轨迹方程；
（Ⅲ）若AB⊥PA，求点B的纵坐标的取值范围．

Answer 1

（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y²=2px，
∵点P（2，4）在抛物线上∴4²=2p×2，得p=4，
故所求抛物线的方程是y²=8x．
（II）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB
则 kPA=

y1-4

x1-2

(x1≠1)，kPB=

y2-4

x2-1

(x2≠1)，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴k_PA=-k_PB．
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线上，得y₁²=8x₁ （1），y₂²=8x₂ （2），
∴

y1-4

1 8 y12-2

=-

y2-4

1 8 y22-2

，∴y₁+4=-（y₂+4），∴y₁+y₂ =-8．
设AB的中点坐标为（x，y），则 y=

y1+y2

2

=-4，x=

x1+x2

2

=

y12 8 + y22 8

2

=

(y1+y2)2-2y1y2

16

=

64-2y1y2

16

． 由题意知，y₁＜0，y₂＜0，
（-y₁）+（-y₂）=8＞2

y1y2

，∴y₁y₂＜16，∴

64-2y1y2

16

＞

64-2×16

16

=2，即 x＞2，
故线段AB中点的轨迹方程为 y=-4（ x＞2 ）．
（III）由题意得 A（

y12

8

，y₁）、B（

y22

8

，y₂），故k_AP =

y1-4

y12 8 -2

=

8

y1+4

，
由于AB⊥AP，∴k_AB =-（

y1+4

8

）．又 K_AB=

y2-y1

y22 8 - y12 8

=

8

y2+y1

，
∴y₁²+（y₂+4）y₁+4y₂+64=0．
由△≥0，解得y₂≤-12或y₂≥20，故点B的纵坐标的取值范围是 （-∞，12]∪[20，+∞）．