Question

【题目】证明：1﹣ ≤ln（x+1）≤x，其中x＞﹣1．

Answer 1

【答案】证明：①构造函数f（x）=ln（x+1）﹣x， ∵f′（x）= ，（x＞﹣1），当x=0，f′（0）=0，得下表

X	﹣1＜x＜0	0	x＞0
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	单调递增	极大值f（0）=0	单调递减

∴x＞﹣1总有f（x）≤f（0）=0，∴ln（x+1）﹣x≤0，∴ln（x+1）≤x；
②构造函数g（x）=ln（x+1）+ ﹣1，∵g′（x）= ，
当x=0，g′（0）=0，当﹣1＜x＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增；∴x=0，g（x）极小值=g（x）min=g（0）=0，
∴x＞﹣1时，总有g（x）≥g（0）=0，∴ln（x+1）+ ﹣1≥0，
即：1﹣ ≤ln（1+x），
综上①②不等式1﹣ ≤ln（x+1）≤x成立
【解析】分别构造函数f（x）=ln（x+1）﹣x，g（x）=ln（x+1）+ ﹣1，根据函数的单调性求出函数的最值，从而证出结论．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．