Question

已知数列的前项和为，，是与的等差中项（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使不等式恒成立，若存在，求出
的最大值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1） （2）存在,11

试题分析：
（1）解法一：根据是与的等差中项，利用等差中项得到，（）①,
当时有 ②,则①-②可得，从而可得数列通项.
解法二:根据是与的等差中项，利用等差中项得到，（）①,根据该式的结构特征,利用构造法,可构造出等比数列,从而求得,进而利用得到数列的通项.
（2）根据（1）的结论可知,数列是等比数列,所以可以得到其前项和;代入化简,讨论的奇偶发现, 为奇数时,恒成立; 为偶数时,可将其转化为二次函数在固定区间恒成立问题,利用单调性可判断是否存在这样的正整数.
试题解析：（1）解法一：因为是与的等差中项，
所以（），即，（）①
当时有 ②                             
①-②得，即对都成立     
又根据①有即，所以
所以. 所以数列是首项为1,公比为的等比数列.
解法二：  因为是与的等差中项，
所以（），即，（）
由此得（），
又，所以（），
所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 
得，即（），
所以，当时，，     
又时，也适合上式，所以.
（2）根据（1）的结论可知,
数列是首项为1,公比为的等比数列,
所以其前项和为.
原问题等价于（）①恒成立.
当为奇数时，不等式左边恒为负数,右边恒为正数,所以对任意正整数不等式恒成立；
当为偶数时，①等价于恒成立，
令，有，则①等价于在恒成立，     
因为为正整数，二次函数的对称轴显然在轴左侧,
所以当时,二次函数为增函数,故只须，解得，，
所以存在符合要求的正整数，且其最大值为11.             求通项;构造等比数列法;分类讨论;二次函数在固定区间恒成立.