Question

【题目】已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点的直线与轨迹交于点，与交于点，过作的垂直线交轴于点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

(1) 直接法求轨迹方程，利用 化简可得.

(2) 设直线的方程为与椭圆方程联解，求出、点坐标，再利用垂直关系求出点坐标，计算得可证.

（1）设，则直线的斜率.直线的斜率，

依题意得，整理得，

所以点的轨迹的方程为.

（2）解法1：设直线的方程为，

联立，消去整理得，

又，所以，即，，

易得，直线的斜率，

又，所以直线的方程为，

令得，所以直线的斜率，

又直线的斜率为，所以，所以.

解法2：设（其中），则直线，

令得，

所以直线的斜率.

又，所以直线的方程为，

所以直线的斜率，直线的斜率，

又，即，所以.

解法3：设直线，则直线的斜率，

，直线的斜率，

又，所以直线的方程为.

令得，

所以直线的斜率，所以