Question

【题目】已知定点A（﹣1，1），动点P在抛物线C：y2=﹣8x上，F为抛物线C的焦点．
（1）求|PA|+|PF|最小值；
（2）求以A为中点的弦所在的直线方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设抛物线C的准线为l，所以l的方程为x=2，

设P到准线的距离为d，垂足为E．由抛物线的定义知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|，

当A，P，E三点共线时最小，|PA|+|PF|最小值为3．

（2）解：设以A为中点的弦所在的直线交抛物线C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，

所以x1+x2=﹣2，y1+y2=2，

又因为M，N在抛物线C上，

则有y12=﹣8x1，y22=﹣8x2，做差化简得 kMN=﹣4

又直线MN过点A（﹣1，1），所以有y﹣1=﹣4（x+1），

即以A为中点的弦所在的直线方程为4x+y+3=0．

【解析】（1）利用抛物线的定义知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|，当A，P，E三点共线时最小，|PA|+|PF|取得最小值；（2）利用点差法，求斜率，即可求以A为中点的弦所在的直线方程．