Question

【题目】已知关于x的函数，其导函数.

（1）如果函数在处有极值，求函数的表达式；

（2）当时，函数的图象上任一点P处的切线斜率为k，若，求实数b的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）首先求出，根据极值的定义可得，解方程组求出、，将、的值代入验证函数能否取得极值即可求解.

（2）由，设图象上任意一点，利用导数的几何意义可得任意，恒成立，分离参数只需任意恒成立，设，利用导数求出的最小值即可.

（1），

因为函数在处有极值，

所以

解得或.

（i）当时，，

所以在上单调递减，不存在极值

（ii）当时，

时，，单调递增；

时，，单调递减，

所以在处存在极大值，

符合题意综上所述，满足条件的值为

故函数.

（2）当时，函数，

设图象上任意一点，则，

因为，所以对任意，恒成立，

所以对任意，不等式恒成立，

设，则，

当时，

故在区间上单调递减，

所以对任意，

所以.