Question

【题目】在如图所示的四棱锥中，底面为菱形，,为正三角形.

（1）证明:；

（2）若，四棱锥的体积为16，求的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】分析：（1）由正三角形的性质可得，，根据线面垂直的判定定理可得平面，由线面垂直的性质可得结论；（2）根据勾股定理，，结合可得，平面，设，利用棱锥的体积公式列方程解得，由勾股定理可得的长.

详解：（1）证明：取中点为,连接

∵底面为菱形，,

∴为正三角形，

∴

又∵为正三角形，

∴

又∵平面,平面，

∴平面，

∵平面，

∴.

（2）法一：设，则，

在正三角形中，，同理，

∴，

∴，

又∵，平面，平面，

∴平面,

∴，

∴，

∵

∴

∴.

法二：设，则，

在正三角形中，，同理，

∴，

∴，

又∵，平面，平面，

∴平面,

∴，

∴，

连接,

∵在中，，

∴由余弦定理得，

∴在中，.