Question

已知函数f(x)=

1

3

a2x3+3ax2+8x，g(x)=x3+3m2x-8m，
（Ⅰ）求f（x）在x=1处的切线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求当f（x）在x=1处的切线的斜率最小时，f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否总存在实数m，使得对任意的x₁∈[-1，2]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函数的导数，在x=1处的导数就是切线斜率，再求其取值范围；
（Ⅱ）直接求当f（x）在x=1处的切线的斜率最小时，f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，先求函数的导数，再确定单调性，是否总存在实数m，
使得对任意的x₁∈[-1，2]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，
就是g（x₀）的值域包含f（x₁），求出g（x₀）的最大值和最小值，再求实数m的取值范围；

解答：解：（1）f′（x）=a²x²+6ax+8，f′（1）=a²+6a+8=（a+3）²-1≥-1
所以f（x）在x=1处的切线斜率的取值范围为[-1，+∞）（4分）
（2）由（1）知a=-3，则f（x）=3x³-9x²+8x（6分）
（3）f′（x）=9x²-18x+8=（3x-2）（3x-4），则有
（10分）
所以当x₁∈[-1，2]时，-20≤f（x₁）≤4，
假设对任意的x₁∈[-1，2]都存在x₀∈[0，1]使得g（x₀）=f（x₁）成立，
设g（x₀）的最大值为T，最小值为t，则

T≥4 t≤-20

（12分）
又g′（x）=9x²+3m²＞0，所以当x₀∈[0，1]时，
T=g（1）=1+3m²-8m≥4且t=g（0）=-8m≤-20，所以m≥3．（14分）

点评：本题考查直线的斜率，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．