Question

如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．

(1)求证：BC⊥AD；

(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD的大小；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）见解析（2）最大值为8，此时棱长AD＝2.

【解析】(1)证明：取BC的中点E，连结AE，DE，

∵△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形，

∴AE⊥BC，DE⊥BC.

∵AE∩DE＝E，

∴BC⊥平面AED，AD?平面AED，∴BC⊥AD.

(2)由已知得，△AED为等腰三角形，且AE＝ED＝2，

设AD＝x，F为棱AD的中点，

则EF＝ ，S△AED＝，

V＝S△AED·(BE＋CE)＝ (0＜x＜4)，

当x2＝24，即x＝2时，Vmax＝8，

∴该四面体存在最大值，最大值为8，此时棱长AD＝2.