Question

若对定义在R上的可导函数f（x），恒有（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0，（其中f′（2x）表示函数f（x）的导函数f′（x）在2x的值），则f（x）（　　）

A．恒大于等于0	B．恒小于0
C．恒大于0	D．和0的大小关系不确定

Answer 1

函数g（x）=

x4f(2x)

ex

，
则g′(x)=

[x4f(2x)]′ex-x4f(2x)?[ex]′

[ex]2

=

4x3f(2x)+2x4f′(2x)-x4f(2x)

ex

=

(4x3-x4)f(2x)+2x4f′(2x)

ex

=

x3[(4-x)f(2x)+2f′(2x)]

ex

，
∵（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0恒成立，
∴当x＞0时，g'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，
当x＜0时，g'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，
∴当x=0时，g（x）取得极小值，同时也是最小值g（0）=0，
∴g（x）=

x4f(2x)

ex

≥g（0），
即g（x）=

x4f(2x)

ex

≥0，当x≠0时，g（x）＞0，
∴当x≠0时，f（x）＞0，
∵（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0恒成立，
∴当x=0时，4f（0）+0＞0恒成立，
∴f（0）＞0，
综上无论x取何值，恒有f（x）＞0，
故选C．