Question

【题目】如图，已知平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA= ，ABEF为直角梯形，BE∥AF，∠BAF= ，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．

（1）求证：AC⊥平面ABEF；
（2）求平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB=1，BC=2，∠CBA= ，

∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos =1+4﹣2×2×1× =3，

则AC= ，满足BC2=AB2+AC2，

即△CAB是直角三角形，

则AC⊥AB，

∵平面ABCD⊥平面ABEF，AC平面ABCD，

∴AC⊥平面ABEF；

（2）解：建立以A为坐标原点，AB，AF，AC分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵BE=2，AF=3，

∴C（0，0， ），B（1，0，0），E（1，2，0），F（0，3，0），D（﹣1，0， ），

则平面ABCD的一个法向量为 =（0，1，0），

设平面DEF的一个法向量为 =（x，y，z），

则 =（1.3．﹣ ）， =（﹣1，1，0），

则 得 ，

令x= ，则y= ，z=4，即 =（ ， ，4），

则cos＜ ， ＞= = = ，

即平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值是 ．

【解析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面ABEF；（2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．