Question

在直角坐标系xoy中，已知三点A（-1，0），B（1，0），C（-1，

3

2

）；以A、B为焦点的椭圆经过C点，
（1）求椭圆方程；
（2）设点D（0，1），是否存在不平行于x轴的直线l，与椭圆交于不同的两点M、N，使（

PM

+

PN

）•

MN

=0？
若存在．求出直线l斜率的取值范围；
（3）对于y轴上的点P（0，n）（n≠0），存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使（

PM

+

PN

）•

MN

=0，试求实数n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由焦点A（-1，0），B（1，0）及椭圆过C（-1，

3

2

)可得到椭圆方程．
（2）由(

DM

+

DN

)•

MN

=0，知|

DM

|=|

DN

|，设直线方程y=kx+m，（k≠0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点Q（x₀，y₀）．由题知

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

可得（3+4k²）x²+8kmx+4k²-12=0，x0=

x1+x2

2

=-

4km

3+4k2

，y0=

3m

3+4k2

，由△＞0可得4k²+3＞m²，由|

DM

|=|

DN|

可得4k²＜-2矛盾．所以符合条件的直线不存在．
（3）由

y0-n

x0

=-

1

k

，可推出4k2＜

1

n2

-3，要使k存在解得n的取值范围是(-

3

，0)∪(0，

3

)．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由焦点A（-1，0），B（1，0）及椭圆过C（-1，

3

2

)可得，

(-1)2 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1 a2-b2=1

，
解得

a2=4 b2=3

，即椭圆方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵(

DM

+

DN

)•

MN

=0，
∴|

DM

|=|

DN

|，
由题知直线的斜率存在．可设直线方程为
y=kx+m，（k≠0），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点Q（x₀，y₀）．
由题知

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，
得（3+4k²）x²+8kmx+4k²-12=0，
得x0=

x1+x2

2

=-

4km

3+4k2

，y0=

3m

3+4k2

，
由△＞0，得4k²+3＞m²，
由|

DM

|=|

DN|

，得

y0-1

x0

=-

1

k

，
即m=-3-4k²，又由4k²+3＞m²，可得4k²＜-2矛盾．
所以符合条件的直线不存在．
（3）由（2）知

y0-n

x0

=-

1

k

，
推出4k2＜

1

n2

-3，
要使k存在只需

1

n2

-3＞0，
解得n的取值范围是(-

3

，0)∪(0，

3

)．

点评：本题考查椭圆方程的求法和判断直线方程是否存在，求实数n的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．