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    已知an=
    		1×2
    +
    		2×3
    +
    		3×4
    +…+
    		n(n+1)
    （n∈N*），用放缩法证明：
    n(n+1)
    2
    ＜an＜
    n(n+2)
    2
    ．（提示：
    		n(n+1)
    ＞n 且
    		n(n+1)
    ＜
    n+(n+1)
    2
    ）
    分析：根据
    		n(n+1)
    ＞n 且
    		n(n+1)
    ＜
    n+(n+1)
    2
     以及不等式的性质，证得
    n(n+1)
    2
    ＜an＜
    n(n+2)
    2
    ．
    解答：证明：∵
    		n(n+1)
    =
    		n2+n
    ，∴
    		n(n+1)
    ＞n，
    ∴an=
    		1×2
    +
    		2×3
    +…+
    		n(n+1)
    ＞1+2+3+…+n=
    n(n+1)
    2
    ．
    ∵
    		n(n+1)
    ＜
    n+(n+1)
    2
    ，
    ∴an＜
    1+2
    2
    +
    2+3
    2
    +
    3+4
    2
    +…+
    n+(n+1)
    2
    =
    1
    2
    +（2+3+…+n）+
    n+1
    2
    =
    n(n+2)
    2
    ．
    综上得：
    n(n+1)
    2
    ＜an＜
    n(n+2)
    2
    ．
    点评：本题主要考查用放缩法证明不等式，属于中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知在数列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0，x=
    		t
    是函数f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1（n≥2）的一个极值点
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式
    （Ⅱ）当t=2时，令bn=
    an-1
    (an+1)(an+1+1)
    ，数列{bn}前n项的和为Sn，求证：Sn＜
    1
    6

    （Ⅲ）设cn=
    1
    2
    an
    (2n+1)(2n+1+1)
    ，数列{cn}前n项的和为Tn，求同时满足下列两个条件的t的值：
    （1）Tn＜
    1
    6

    （2）对于任意的m∈(0，
    1
    6
    )    ，均存在k∈N*，当n≥k时，Tn＞m．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1=2Sn +2(n∈N*)
    （I）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）在an与an+1之间插人n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列，求数列{
    1dn
    }的前n项和Tn．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•邯郸模拟）在数列{an}中，已知an≥1，a1=1且an+1-
    a
     
    n
    =
    2
    an+1+an-1
    (n∈N*)
    （I）求数列{an}的通项公式；
    （II）令cn=(2an-1)2，Sn=
    1
    c1c2
    +
    1
    c2c3
    +…+
    1
    cncn+1
    ，若Sn＜k恒成立，求k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：邯郸模拟 题型：解答题

    在数列{an}中，已知an≥1，a1=1且an+1-
    a n
    =
    2
    an+1+an-1
    (n∈N*)
    （I）求数列{an}的通项公式；
    （II）令cn=(2an-1)2，Sn=
    1
    c1c2
    +
    1
    c2c3
    +…+
    1
    cncn+1
    ，若Sn＜k恒成立，求k的取值范围．

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