Question

如图△ABC，D是△ABC内一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线．
求证：AB=CD．

Answer 1

分析：由三角形的中位线得，MS∥AE，MS=

1

2

AE，HS∥CF，HS=

1

2

CF，由已知得HS=SM，从而得出∠SHM=∠SMH，则得出∠TGH=∠THG，GT=TH，最后不难看出AB=CD．

解答：证明：
取BC中点T，AF的中点S，连GT，HT，HS，SM．…（2分）
∵G，H，M分别为BD，AC，EF的中点
∴MS∥AE，MS=

1

2

AE，HS∥CF，HS=

1

2

CF，∵AE=CF∴HS=SM，
∴∠SHM=∠SMH…（6分）
∵GT∥CD，HT∥AB，GT=

1

2

CD，HT=

1

2

AB
∴GT∥HS，HT∥SM…（9分）
∴∠SHM=∠TGH，∠SMH=∠THG
∴∠TGH=∠THG
∴GT=TH
∴AB=CD…（12分）

点评：本题考查了三角形的中位线定理以及平行线的性质．