Question

（本小题满分16分）已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底,)（1）求的解析式;（2）设，求证：当时，；（3）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3 ？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

(Ⅰ)    （Ⅲ）存在实数，使得当时，有最小值３

解析:

（1）设，则，所以

又因为是定义在上的奇函数，所以 

故函数的解析式为…4分

（2）证明：当且时，，设

因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以

  又因为，所以当时，，此时单调递减，所以

所以当时，即       ……………………8分

（3）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，则

（ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，，不满足最小值是３

（ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，，也不满足最小值是３

（ⅲ）当，由于，则，故函数 是上的增函数．所以，解得（舍去）

（ⅳ）当时，则当时，，此时函数是减函数；

当时，，此时函数是增函数．

所以，解得

综上可知，存在实数，使得当时，有最小值３   …………16分