Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x-3）²+（y+2）²=4，圆C₂：（x+m）²+（y+m+5）²=2m²+8m+10（m∈R，且m≠-3）．
（1）设P为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆C₁与圆C₂的一条切线，切点分别为T₁、T₂，使得PT₁=PT₂，试求出所有满足条件的点P的坐标；
（2）若斜率为正数的直线l平分圆C₁，求证：直线l与圆C₂总相交．

Answer 1

（1）由题设条件，圆C₁的圆心坐标（3，-2），半径为2，圆C₂的圆心坐标（-m，-m-5），半径为

2m 2+8m+10

∵过点P分别作圆C₁与圆C₂的一条切线，切点分别为T₁、T₂，使得PT₁=PT₂，
∴PC₁²-4=PC₂²-（2m²+8m+10）
若点P在X轴上，设P（x，0），将P（x，0）及圆心的坐标代入整理得（2m-6）x=-2m+6，故x=-1，
即P（-1，0）
若点P在Y轴上，可设P（0，y），同理解得y=-1，即P（0，-1）
故满足条件的点P的坐标为（-1，0）或（0，-1）
（2）若斜率为正数的直线l平分圆C₁，可得此直线过定点（3，-2），
设此直线的方程为y+2=k（x-3），整理得kx-y-3k-2=0
圆C₂的圆心到此直线的距离为d=

|-mk+m+5-3k-2|

1+k2

=

|(1-k)(m+3)|

1+k2

由于d²-r²=

(1-2k+k2)(m+3) 2

1+k2

-（2m²+8m+10）
=

(1-2k+k2)(m+3) 2-(1+k2)(2m 2+8m+10)

1+k2

=-m²-2m-1-

2k

1+k2

（m+3）²
=-（m+1）²-

2k

1+k2

（m+3）²＜0 （∵k＞0）
可得在d＜r，即直线l与圆C₂总相交