Question

已知函数f（x）=x²+2mx+2，x∈[-5，5]
（1）当m=-2时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数m的取值范围，使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数；
（3）在（1）的条件下，设g（x）=f（x）+n-5，若函数g（x）在区间[0，4]上有且仅有一个零点，求实数n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数进行配方，得到函数的开口方向和对称轴，开口向上在对称轴处取最小值，离对称轴越远函数值越大，从而求出最大值；
（2）讨论对称轴与区间[-5，5]的位置关系，对称轴小于等于-5，则f（x）在[-5，5]上单调递增，对称轴大于等于5，则f（x）在[-5，5]上单调递减，从而可求出所求；
（3）根据（1）可求出g（x）解析式，然后配方可知对称轴x=2∈[0，4]，要使g（x）在[0，4]上有且只有一个零点，则△=0，可求出所求．

解答：解：（1）当m=-2时，f（x）=（x-2）²-2，开口向上，对称轴为x=2，
∴f（x）在[-5，2]上单调递减，在[2，5]上单调递增，
∴f（x）_max=f（-5）=47，f（x）_min=f（2）=-2；
（2）f（x）=（x+m）²+2-m²，对称轴为x=-m，
当-m≤-5，即m≥5时，f（x）在[-5，5]上单调递增，
当-m≥5，即m≤-5时，f（x）在[-5，5]上单调递减，
∴y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数，则m的范围为（-∞，-5]∪[5，+∞）；
（3）由（1）可知g（x）=x²-4x-3+n=（x-2）²-7+n，
∵g（x）在[0，4]上有且只有一个零点，对称轴x=2∈[0，4]，
∴△=0即n-7=0，
∴n=7．
∴实数n的取值为7．

点评：本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，以及二次函数的单调性和零点问题，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．