Question

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定义域R上的奇函数．
（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（2）若f(1)=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：先利用f（x）为R上的奇函数得f（0）=0求出k以及函数f（x）的表达式，
（1）利用f（1）＞0求出a的取值范围以及函数f（x）的单调性，再把不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0利用函数f（x）是奇函数进行转化，再利用求得的单调性解不等式即可；
（2）先由f（1）=

3

2

得a=2，得出函数f（x）的单调性，，再对g（x）进行整理，整理为用f（x）表示的函数，最后利用函数f（x）的单调性以及最值来求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

解答：解：∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，∴k-1=0?k=1，
∴f（x）=a^x-a^-x
（1）∵f（1）＞0，∴a-a^-1＞0，a＞0，∴a＞1．
∴f（x）为R上的增函数
由f（x²+2x）+f（x-4）＞0得：f（x²+2x）＞f（4-x）
即：x²+3x-4＞0?x＜-4或x＞1．
即不等式的解集（-∞，-4）∪（1，+∞）．
（2）由f（1）=

3

2

得a=2，
由（1）可知f（x）为[1，+∞）上的增函数．
f（x）≥f（1）=

3

2

所以g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x）=（f（x）-2）²-2≥-2（当f（x）=2时取等号）
故g（x）在[1，+∞）上的最小值-2．

点评：本题是对函数单调性和奇偶性的综合考查．对函数单调性和奇偶性的综合考查的一般出题形式是解不等式的题，解题方法是先利用奇偶性进行转化，再利用单调性解不等式．