Question

（本小题满分12分）
已知函数f （x）＝ln（1＋x）＋a （x＋1）²（a为常数）．
（Ⅰ）若函数f （x）在x＝1处有极值，判断该极值是极大值还是极小值；
（Ⅱ）对满足条件a≤的任意一个a，方程f （x）＝0在区间（0，3）内实数根的个数是多少？

Answer 1

（１）极大值；（２）２

（Ⅰ）f＇（x）＝

                                            …………2分


—1<x<1时，f＇（x）>0；x>1时，f＇（x）<0，
∴f（x）在（—1，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数
所以f（1）为函数f（x）的极大值                                         …………4分
（Ⅱ）

              …………5分



+∞）是为减函数
因此f（x）在x＝—1+处取得区间（—1，+∞）上的最大值                   ——6分
由f（—1+）＝0得a＝—                                       …………7分
（1）当a<时，f（—1+
所以方程f（x）＝0在区间（0，3）内无实数根                     …………8分
（2）当a＝时，f（—1+
所以方程f（x）＝0在区间（0，3）内有且仅有1个实数根
—1+…………9分
（3）当a≤时，≤1，
又f（0）a<0，f（—1+
f（3）＝ln4＋16a≤ln4－2<0，
所以方程f（x）＝0在区间（0，3）内有2个实数根．              …………11分
综上所述，
当a＜时，方程f（x）＝0在区间（0，3）内无实数根；
当a时，方程f（x）＝0在区间（0，3）内有1个实数根；
当≤时，方程f（x）＝0 在区间（0，3），内有2个实数根．
…………12分