Question

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝a，D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA₁上的点，二面角M―DE―A为30°．

(I)证明：A₁B₁⊥C₁D；

(II)求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：连结CD， 　　∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱． 　　∴CC1⊥平面ABC， 　　∴CD为C1D在平面ABC内的射影， 　　∵△ABC中，AC＝BC，D为AB中点． 　　∴AB⊥CD， 　　∴AB⊥C1D， 　　∵A1B1∥AB， 　　∴A1B1⊥C1D; 　　(Ⅱ)解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF． 　　∵D、E分别为AB、BC的中点． 　　∴DE∥AC． 　　又∵AF∥CE，CE⊥AC， 　　∴AF⊥DE． 　　∵MA⊥平面ABC， 　　∴AF为MF在平面ABC内的射影． 　　∴MF⊥DE， 　　∴∠MFA为二面角M－DE－A的平面角，∠MFA－30°． 　　在Rt△MAF中，AF－， 　　∴AM＝． 　　作AC⊥MF，垂足为G． 　　∵MF⊥DE，AF⊥DE， 　　∴DE⊥平面AMF， 　　∴平面MDE⊥平面AMF． 　　∴AG⊥平面MDE 　　在Rt△GAF中，∠GFA－30°，AF＝， 　　∴AG＝，即A到平面MDE的距离为． 　　∵CA∥DE，∴CA∥平面MDE， 　　∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为． 　　解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF， 　　∵D、E分别为AB、CB的中点， 　　DE∥AC， 　　又∵AF∥CE，CE⊥AC， 　　∴AF⊥DE， 　　∵MA⊥平面ABC， 　　∴AF为MF在平面ABC内的射影， 　　∴MF⊥DE， 　　∴∠MFA为二面角M－DE－A的平面角，∠MFA－30°． 　　在Rt△MAF中，AF＝BC＝， 　　∴AM＝．　　8分 　　设C到平面MDE的距离为h． 　　∵， 　　∴， 　　， 　　， 　　， 　　∴h＝，即C到平面MDE的距离为．　　12分