Question

【题目】已知A、F分别是椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当PF⊥x轴时，AF=2PF．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若椭圆C存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形（点P在第一象限），求直线AP与OQ的斜率之积；
（3）记圆O：x2+y2= 为椭圆C的“关联圆”．若b= ，过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M、N，直线MN的横、纵截距分别为m、n，求证： + 为定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由PF⊥x轴，知xP=c，代入椭圆C的方程，

得： + =1，解得 ，

又AF=2PF，∴a+c= ，

∴a2+ac=2b2，即a2﹣2c2﹣ac=0，

∴2e2+e﹣1=0，

由e＞0解得椭圆C的离心率e= ．

（2）

解：∵四边形AOPQ是平行四边形，∴PQ=a，且PF∥x轴，

∴ ，代入椭圆C的方程，解得 ，

∵点P在第一象限，∴yp= b，

同理可得xQ=﹣ ，yQ= b，

∴kAPkOQ= =﹣ ，

由（1）知e= ，得 = ，∴kAPkOQ=﹣ ．

（3）

证明：由（1）知e= = ，又b= ，解得a=2，

∴椭圆C的方程为 =1，

圆O的方程为x2+y2= ，①…

连接OM，ON，由题意可知，OM⊥PM，ON⊥PN，

∴四边形OMPN的外接圆是以OP 为直径的圆，

设P（x0，y0），则四边形OMPN的外接圆方程为（x﹣ ）2+（y﹣ ）2= （ ），

即 =0，②…

①﹣②，得直线MN的方程为xx0+yy0= ，

令y=0，则m= ，令x=0，则n= ．

∴ + =49（ ），

∵点P在椭圆C上，∴ + =1，

∴ =49（为定值）．…

【解析】（1）由PF⊥x轴，知xP=c，代入椭圆C的方程，得 ，由此能求出椭圆C的离心率．（2）由四边形AOPQ是平行四边形，知PQ=a，且PF∥x轴，从而yp= b，yQ= b，由此能求出kAPkOQ ． （3）由（1）知e= = ，又b= ，从而椭圆C的方程为 =1，圆O的方程为x2+y2= ，连接OM，ON，由题意可知，OM⊥PM，ON⊥PN，从而四边形OMPN的外接圆是以OP 为直径的圆，由此能证明 为定值．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．