Question

【题目】已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于，两点，过这两点分别作抛物线的切线，且这两条切线相交于点．

（1）若点的坐标为，求的值；

（2）设线段的中点为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为，且直线与抛物线交于，两点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由定义可得，设切线的方程为，代入，得，由得，分类讨论即可求出答案；

（2）由（1）可得点以线段为直径的圆的方程为，根据对称性，不妨设直线的斜率为正数，由可求得，联立直线与抛物线方程并整理得，设，，利用韦达定理即可求出答案．

解：（1）∵抛物线的焦点到准线的距离为，

∴，故抛物线的方程为，

设切线的方程为，

代入，得，

由得，

当时，点的横坐标为，则，

当时，同理可得，

综上可得；

（2）由（1）知，，，

∴以线段为直径的圆的方程为，

根据对称性，不妨设直线的斜率为正数，

∵为直线与圆的切点，

∴，，∴，

∴，，

∴直线的方程为，

由，整理得，

∵，∴，

设，，则，，

∴，

∵，∴，

∴，

∴．