Question

（2007•金山区一模）（1）已知平面上两定点A（-2，0）、B（2，0），且动点M的坐标满足

MA

•

MB

=0，求动点M的轨迹方程；
（2）若把（1）的M的轨迹图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位，恰与直线x+ky-3=0 相切，试求实数k的值；
（3）如图1，l是经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是两个焦点，点P∈l，P不与A重合．若∠EPF=α，证明：0＜α≤arctan

c

b

．类比此结论到双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1，l是经过焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是两个顶点，点P∈l，P不与F重合（如图2）．若∠APB=α，试求角α的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设点M为（x，y），利用坐标表示向量，代入题目中的条件

MA

•

MB

=0得x²+y²=4，即得到点M的轨迹方程．
（2）由题意图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到新的圆的方程（x-1）²+（y+1）²=4，根据其与直线x+ky-3=0 相切可得k=0或k=

4

3

（3）由题得α=∠EPA-∠FPA，所以tanα=tan（∠EPA-∠FPA），可得0＜α≤arctan

c

b

；类比椭圆的证明方法得到双曲线
的类似的性质 0＜α≤arctan

a

b

．

解答：解：（1）设M（x，y），
由

MA

•

MB

=0得x²+y²=4，
此即点M的轨迹方程．…（3分）
（2）将x²+y²=4向右平移一个单位，再向下平移一个单位后，
得到圆（x-1）²+（y+1）²=4…（5分）
依题意有

|k+2|

k2+1

=2，得k=0或k=

4

3

…（8分）
（3）（ⅰ）证明：不妨设点P在A的上方，并设P（a，t）（t＞0），
则tan∠EPA=

a+c

t

，tan∠FPA=

a-c

t

…（10分）
所以tanα=tan(∠EPA-∠FPA)=

a+c t - a-c t

1+ a2-c2 t2

=

2c

t+ b2 t

≤

c

b

…（12分）
所以0＜tanα≤

c

b

．显然α为锐角，即：0＜α≤arctan

c

b

…（14分）
（ⅱ）不妨设点P在F的上方，并设P（c，t）（t＞0），
则tan∠APF=

c+a

t

 ， tan∠BPF=

c-a

t

，
所以tanα=tan(∠APF-∠BPF)=

c+a t - c-a t

1+ c2-a2 t2

=

2a

t+ b2 t

≤

a

b

由于tanα＞0且tanα≤

a

b

，α为锐角，故0＜α≤arctan

a

b

．…（18分）

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的位置关系，主要考查轨迹方程的求解，考查图象变换，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是把向量条件坐标化，熟练掌握直线与圆的位置关系以及椭圆与双曲线的几何性质．