Question

一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），车上有一节邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，试求：
（1）列车从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋数是多少个？
（2）第几站的邮袋数最多？最多是多少？

Answer 1

设列车从各站出发时邮政车厢内的邮袋数构成一个数列{a_n}
（1）由题意得：a₁=n-1，a₂=（n-1）+（n-2）-1，a₃=（n-1）+（n-2）+（n-3）-1-2．
在第k站出发时，前面放上的邮袋共：（n-1）+（n-2）+…+（n-k）个
而从第二站起，每站放下的邮袋共：1+2+3+…+（k-1）个
故a_k=（n-1）+（n-2）+…+（n-k）-[1+2+…+（k-1）]=kn-

1

2

k(k+1)-

1

2

k(k-1)=kn-k2(k=1，2，…，n)
即列车从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋数kn-k²（k=1，2，…n）个．…（6分）
（2）ak=-(k-

n

2

)2+

1

4

n2当n为偶数时，k=

1

2

n时，最大值为

1

4

n2
当n为奇数时，k=

1

2

(n-1)或k=

1

2

(n+1)时，最大值为

1

4

(n2-1)．
所以，当n为偶数时，第

n

2

站的邮袋数最多，最多是

1

4

n2个；
当n为奇数时，第

n-1

2

或第

n+1

2

站的邮袋数最多，最多是

1

4

(n2-1)个．…（14分）