Question

【题目】设函数 .若曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）.

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得，再由，解得.最后求出导函数零点，列表分析导函数符号变号规律，进而确定单调区间，（2）先分离，再求函数最大值，即得实数的取值范围.

试题解析：（1）函数的定义域为.

.

依题意得， ，即

所以.

所以， .

当时， ；当时， .

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.

（2）设函数，故对任意，不等式恒成立.

又，当，即恒成立时，

函数单调递减，设，则，

所以，即，符合题意；

当时， 恒成立，此时函数单调递增.

于是，不等式对任意恒成立，不符合题意；

当时，设，

则 ；

当时， ，此时单调递增，

所以 ，

故当时，函数单调递增.

于是当时， 成立，不符合题意；

综上所述，实数的取值范围为： .