Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=

2

a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）
（Ⅰ）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE
（Ⅱ）设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθ•tanφ=1，求λ的值．

Answer 1

分析：解法一：（几何法）（Ⅰ）因为SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理只要证AC⊥BD即可．
（Ⅱ）先找出θ和φ，因为由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，二面角C-AE-D的平面角可由三垂线定理法作出．
再用λ表示出tanθ和tanφ，代入tanθ•tanφ=1，解方程即可．
解法二：（向量法）因为DA．DC．DS两两垂直，故可建立空间直角坐标系，由向量法求解．
（Ⅰ）写出向量

AC

和

BE

的坐标，只要数量积为0即可．
（Ⅱ）分别求出平面ACE的法向量、平面ABCD与平面ADE的一个法向量，由夹角公式求出cosθ和sinφ，再由tanθ•tanφ=1求解即可．

解答：解：（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD．
∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE
（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，
∵SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴SD⊥CD．
又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD．
连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，
故∠CFD是二面角C-AE-D的平面角，即∠CFD=θ．
在Rt△BDE中，∵BD=2a，DE=λa∴tanφ=

DE

BD

=

λ

2

在Rt△ADE中，∵AD=

2

a，DE=λa∴AE=a

λ2+2

从而DF=

AD•DE

AE

=

2 λa

λ2+2

在Rt△CDF中，tanθ=

CD

DF

=

λ2+2

λ

．
由tanθ•tanφ=1，得

λ2+2

λ

λ

2

=1即

λ2+2

=2，所以λ²=2．
由0＜λ≤2，解得λ=

2

，即为所求．


（Ⅰ）证法2：以D为原点，以DA．DC．DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如
图2所示的空间直角坐标系，则
D（0，0，0），A（

2

，0，0），B（

2

a，

2

a，0），
C（0，

2

a，0），E（0，0，λa），
∴

AC

=(-

2

a，

2

a，0)，

BE

=(-

2

a，

2

a，λa)
∴

AC

•

BE

=2a2-2a2+0-λa=0，即AC⊥BE．
（Ⅱ）解法2：
由（I）得

EA

=(

2

a，0，-λa)，

EC

=(0，

2

a，-λa)，B

E

=(-

2

a，-

2a

，λa)．
设平面ACE的法向量为n=（x，y，z），则由n⊥

EA

，n⊥

EC

，
得

n• EA =0 n• EC =0

即

2 x-λz=0 2 y-λz=0

取z=

2

，得n(λ，λ，

2

)．
易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为

DS

=(0，0，2a)与

DC

=(0，

2

a，0)．
∴sinφ=

DS • BE

| DS |•| BE |

=

λ

λ2+4

，cosθ=

| DC •n|

| DC |•|n|

=

|λ|

2λ2+2

．
∵0＜θ＜

π

2

，λ＞0
∴tanθ•tanφ=1?θ+φ=

π

2

?sinφ=cosθ?

λ

λ2+4

=

λ

2λ2+2

?λ²=2．
由0＜λ≤2，解得λ=

2

，即为所求．

点评：本题考查空间线线垂直的证明、空间垂直之间的相互转化、空间角的求解，考查逻辑推理能力和运算能力．