Question

（2008•武汉模拟）若△ABC的两条中线的长度分别为6，3，则△ABC面积的最大值为

12

．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，由AD和BE都为三角形的中线，得到F为重心，从而由AD及BE的长得到AF，BF及EF的长，设∠AFB=α，可得∠AFE=π-α，根据E为AC的中点，得到三角形ABE与三角形BEC的面积相等，三角形ABC的面积等于2倍三角形ABE的面积，而三角形ABE的面积等于三角形ABF的面积与三角形AFE的面积之和，由求出的AF，BF及EF，还有设出的角度，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，利用诱导公式化简，合并后，根据正弦函数的值域得到其面积小于等于12，且当α=90°，即两中线垂直时，三角形ABC面积最大，最大值为12．

解答：
解：如图，中线AD=6，BE=3，
则AF=4，BF=2，EF=1，
设∠AFB=α，
∴S_△ABC=2S_△ABE=2（S_△ABF+S_△AEF）
=2[

1

2

AF•BF•sinα+

1

2

AF•EF•sin（π-α）]
=8sinα+4sinα
=12sinα≤12，
则当α=90°，即两中线垂直时，S_△ABC的最大值为12．
故答案为：12

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有三角形的中位线定理，三角形的面积公式，以及正弦函数的值域，根据题意画出相应的图形，由等底同高得到中线把三角形面积平分是解本题的关键．