Question

已知函数y=f(x)=4cosxsin(x+

π

6

)-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）若将f（x）图象按向量

a

=(m，0)（m＞0）平移得到一个奇函数的图象，求m满足的表达式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）展开两角和的正弦公式后进行单项式乘多项式运算，降幂后化积求周期，由复合函数的单调性求解减区间；
（Ⅱ）把f（x）按向量

a

=(m，0)（m＞0）平移后得到y=2sin(2x-2m+

π

6

)，再由函数为奇函数得到-2m+

π

6

=kπ，从而求得m的值．

解答：解：（Ⅰ）y=f(x)=4cosxsin(x+

π

6

)-1
=4cosx[sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

]-1
=4cosx[

3

2

sinx+

1

2

cosx]-1
=4cosx[

3

2

sinx+

1

2

cosx]-1
=2

3

cosxsinx+2cos2x-1
=2sin(2x+

π

6

)．
∴f（x）的最小正周期T=π．
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ⇒

π

3

+2kπ≤2x≤

4π

3

+2kπ⇒

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．
∴f（x）的减区间是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]k∈Z；
（Ⅱ）将f（x）图象按向量

a

=(m，0)（m＞0）平移，
得到y=2sin[2(x-m)+

π

6

]
=2sin(2x-2m+

π

6

)，
∵该函数为奇函数，∴-2m+

π

6

=kπ⇒m=

π

12

-

k

2

π（k≤0，k∈Z）．
即m=

π

12

-

k

12

π （k≤0，k∈Z）．

点评：本题考查了三角函数中的恒等变换的应用，考查了两角和与差的三角函数，训练了三角函数的平移，考查了与三角函数有关的简单复合函数的单调性的求法，是中档题．