Question

（本题满分为12分）
已知函数的图像过坐标原点，且在点处的切线的斜率是．
（1）求实数的值；
（2）求在区间上的最大值；
（3）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上？请说明理由．

Answer 1

（1）（2）当，即时，在上的最大值为2；当，即时，在上的最大值为 ．（3）存在。

解析试题分析：解：
（I）当时，则． （1分）
依题意，得 即，解得．    （3分）
（II）由（1）知，
①当时
令得或                                     （4分）
当变化时的变化情况如下表：

		0			（）
	-	0	+	0	-
	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

 
又
所以在上的最大值为．                                   （6分）
②当时，