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    【题目】【选修4-4：坐标系与参数方程】

    在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

    （Ⅰ）求曲线的极坐标方程和的直角坐标方程；

    （Ⅱ）直线与曲线分别交于第一象限内的，两点，求.

    【答案】（1）（2）

    【解析】试题分析：（1）第（1）问，先把曲线的参数方程化为直角坐标方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程. 直接利用极坐标直角坐标互化公式将曲线的极坐标方程化成直角坐标方程.（2）第（2）问，联立方程组求出A、B的极径，再求出|AB|.

    试题解析：

    （1）曲线，

    把， ，代入，

    得，

    化简得，曲线的极坐标方程为

    曲线的极坐标方程为

    所以曲线的普通方程为.

    （2）依题意可设

    所以，

    即，所以，

    因为点在一象限，所以，即，

    所以.

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    【题目】某公司有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．

    （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则调整员工从事第三产业的人数应在什么范围？

    （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求的取值范围．

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    （1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；

    （2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系:

    年入流量

    发电量最多可运行台数

    1

    2

    3

    若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

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    【题目】已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．

    （1）求椭圆C的方程；

    （2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．

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    【题目】据调查显示，某高校万男生的身高服从正态分布，现从该校男生中随机抽取名进行身高测量，将测量结果分成组： ， ， ， ， ， ，并绘制成如图所示的频率分布直方图.

    （Ⅰ）求这名男生中身高在（含）以上的人数；

    （Ⅱ）从这名男生中身高在以上（含）的人中任意抽取人，该人中身高排名（从高到低）在全校前名的人数记为，求的数学期望.

    （附：参考数据：若服从正态分布，则， ， .）

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    【题目】“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：

    男性

    女性

    合计

    爱好

    10

    不爱好

    8

    合计

    30

    已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是.

    （1）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析能否有把握认为爱好运动与性别有关？

    （2）若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为，求的分布列、数学期望.参考数据：

    0.10

    0.05

    0.025

    0.01

    0.005

    0.001

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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    【题目】某超市计划销售某种食品，现邀请甲、乙两个商家进场试销10天．两个商家提供的返利方案如下：甲商家每天固定返利60元，且每卖出一件食品商家再返利3元；乙商家无固定返利，卖出30件以内（含30件）的食品，每件食品商家返利5元，超出30件的部分每件返利8元．经统计，两个商家的试销情况茎叶图如下：

    （1）现从甲商家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都小于30的概率；

    （2）若将频率视作概率，回答以下问题：

    ① 记商家乙的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；

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    (1)求网民消费金额的平均值和中位数；

    (2)把下表中空格里的数填上，能否有的把握认为网购消费与性别有关；

    男

    女

    合计

    30

    合计

    45

    附表：

    .

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